Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的作標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出橢圓的a，b，c，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)設(shè)為（x，y），利用，以及P在橢圓上，求點(diǎn)P的作標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓聯(lián)立，注意到交于不同的兩點(diǎn)A、B，△＞0且∠AOB為銳角（其中O為作標(biāo)原點(diǎn)），就是利用韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．
∴，．設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0）．
則，又，
聯(lián)立，解得，．

（Ⅱ）顯然x=0不滿(mǎn)足題設(shè)條件．可設(shè)l的方程為y=kx+2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立
∴，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得．①
又∠AOB為銳角，
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=
=
∴．②
綜①②可知，
∴k的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力．