【題目】設(shè)為坐標原點,動點在橢圓上,過作軸的垂線,垂足為,點滿足.(Ⅰ)求點的軌跡方程;
(Ⅱ)過的直線與點的軌跡交于兩點,過作與垂直的直線與點的軌跡交于兩點,求證: 為定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)設(shè),由題意可得,則,點在橢圓上,整理計算可得軌跡方程為.
(Ⅱ)分類討論:當與軸重合時, .當與軸垂直時, .
當與軸不垂直也不重合時,可設(shè)的方程為, , , 聯(lián)立直線與橢圓的方程有,結(jié)合弦長公式有,
把直線與曲線橢圓聯(lián)立計算可得.則.
據(jù)此,結(jié)論得證.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè),易知, ,
又因為,所以,
又因為在橢圓上,所以,即.
(Ⅱ)當與軸重合時, , ,
∴.
當與軸垂直時, , ,
∴.
當與軸不垂直也不重合時,可設(shè)的方程為
此時設(shè), , ,
把直線與曲線聯(lián)立,
得,
可得
∴,
把直線與曲線聯(lián)立,
同理可得.
∴.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;
(2)若T3=21,求S3.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)為曲線上任意一點,求的最小值.
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【題目】在直角坐標系中, ,動點滿足:以為直徑的圓與軸相切.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與交于兩點,當與的面積之和取得最小值時,求直線的方程.
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【題目】已知點在橢圓上,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓的右頂點,點是橢圓上不同的兩點(均異于)且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由.
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【題目】已知動圓過定點,且在軸上截得的弦長為.
(1)求動圓的圓心點的軌跡方程;
(2)過點的動直線與曲線交于兩點,平面內(nèi)是否存在定點,使得直線分別交于兩點,使得直線的斜率,滿足?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱, 是棱的中點.正三棱柱的正(主)視圖如圖(2).
(Ⅰ)求正三棱柱的體積;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)圖(1)中垂直于平面的平面有哪幾個?(直接寫出符合要求的平面即可,不必說明或證明)
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【題目】地為綠化環(huán)境,移栽了銀杏樹棵,梧桐樹棵.它們移栽后的成活率分別
為、,每棵樹是否存活互不影響,在移栽的棵樹中:
(1)求銀杏樹都成活且梧桐樹成活棵的概率;
(2)求成活的棵樹的分布列與期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)在時的值域的表達式;
(3)若關(guān)于的不等式在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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