Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

2

，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．
（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值．
（2）求B點到平面PCD的距離．
（3）線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值為

6

3

？若存在，求出

PQ

QD

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，確定平面POC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線PB與平面POC所成角的余弦值．
（2）求出平面PDC的法向量，利用距離公式，可求B點到平面PCD的距離．
（3）假設(shè)存在，則設(shè)

PQ

=λ

PD

（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量

n

=（0，0，1），根據(jù)二面角Q-AC-D的余弦值為

6

3

，利用向量是夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）在△PAD中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；
所以以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．
則P（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；
所以

PB

=(1，-1，-1)，易證：OA⊥平面POC，
所以

OA

=(0，-1，0)，平面POC的法向量，
COS＜

PB

，

OA

＞=

PB • OA

| PB || OA |

=

3

3

所以PB與平面POC所成角的余弦值為

6

3

        …．（4分）
（2）

PB

=(1，-1，-1)，設(shè)平面PDC的法向量為

u

=(x，y，z)，
則

u - CP =-x+y=0 u - PD =y-z=0

，取z=1得

u

=(1，1，1)
B點到平面PCD的距離d=

| BP - u |

| u |

=

3

3

…．（8分）
（3）假設(shè)存在，則設(shè)

PQ

=λ

PD

（0＜λ＜1）
因為

PD

=（0，1，-1），所以Q（0，λ，1-λ）．
設(shè)平面CAQ的法向量為

m

=（a，b，c），則

a+b=0 (λ+1)b+(1-λ)c=0

，
所以取

m

=（1-λ，λ-1，λ+1），
平面CAD的法向量

n

=（0，0，1），
因為二面角Q-AC-D的余弦值為

6

3

，
所以

| m • n |

| m || n |

=

6

3

，
所以3λ²-10λ+3=0．
所以λ=

1

3

或λ=3（舍去），
所以

PQ

QD

=

1

2

-------------（12分）

點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、直線與平面所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．