Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）若直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為

6

7

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，證明BE⊥CD，可得CD⊥AD，利用AA₁⊥平面ABCD，可得AA₁⊥CD，即可證明CD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，

DA

，

DC

，

DD1

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AB₁C的法向量，利用直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為

6

7

，建立方程，即可求k的值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE．
∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四邊形ABED為平行四邊形，…（2分）
∴BE∥AD且BE=AD=4k．
在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．                                              …（4分）
∵AA₁⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA₁⊥CD．又AA₁∩AD=A，
∴CD⊥平面ADD₁A₁．…（6分）
（Ⅱ）解：以D為原點(diǎn)，

DA

，

DC

，

DD1

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（4k，0，0），C（0，6k，0），B₁（4k，3k，1），A₁（4k，0，1），
所以

AC

=（-4k，6k，0），

AB1

=（0，3k，1），

AA1

=（0，0，1）．
設(shè)平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
則

-4kx+6ky=0 3ky+z=0

取y=2，得

n

=（3，2，-6k）（k＞0）．　　　　　　　　　　　　…（9分）
設(shè)AA₁與平面AB₁C所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

AA1

，

n

＞|=

6k

36k2+13

=

6

7

，
解得k=1，故所求k的值為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查線面垂直，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于中檔題．