Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若4sinAsinB-4cos²$\frac{A-B}{2}$=$\sqrt{2}$-2．
（1）求角C的大��；
（2）已知$\frac{asinB}{sinA}$=4，△ABC的面積為8．求邊長(zhǎng)c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式化簡(jiǎn)可得cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合角的范圍即可求得C的大小．
（2）由已知及正弦定理求得b，又 S_△ABC=8，C=$\frac{π}{4}$從而解得a，由余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）由條件得4sinAsinB=2（2cos²$\frac{A-B}{2}$-1）+$\sqrt{2}$，
即4sinAsinB=2cos（A-B）+$\sqrt{2}$=2（cosAcosB+sinAsinB）+$\sqrt{2}$，…（2分）
化簡(jiǎn)得cos（A+B）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∵0＜A+B＜π，
∴A+B=$\frac{3π}{4}$，
又A+B+C=π，
∴C=$\frac{π}{4}$，…（6分）
（2）由已知及正弦定理得b=4，…（8分）
又 S_△ABC=8，C=$\frac{π}{4}$，∴$\frac{1}{2}$absinC=8，得a=4$\sqrt{2}$，…（10分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得c=4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，解題時(shí)注意分析角的范圍，屬于基本知識(shí)的考查．