Question

5．設$\frac{1}{7}$≤k$≤\frac{1}{4}$，函數(shù)f（x）=|2^x-1|-k的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)g（x）=|2^x-1|-$\frac{k}{2k+1}$的零點分別為x₃，x₄（x₃＜x₄），則2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{21}{25}$
• B． $\frac{4}{25}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{15}{16}$

Answer 1

分析 由題意可得${2}^{{x}_{1}}$=1-k，${2}^{{x}_{2}}$=1+k，從而可化簡出${2}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+k}{1-k}$；同理可得${2}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{1+3k}{1+k}$；從而化簡2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$再求最值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|2^x-1|-k的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴${2}^{{x}_{1}}$=1-k，${2}^{{x}_{2}}$=1+k；
∴${2}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+k}{1-k}$；
同理可得，${2}^{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{1+3k}{1+k}$；
故2${\;}^{（{x}_{1}+{x}_{4}）-（{x}_{2}+{x}_{3}）}$=$\frac{（1+3k）（1-k）}{（1+k）^{2}}$=1-$\frac{4{k}^{2}}{（1+k）^{2}}$≤$\frac{15}{16}$；
故選：D．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)的應用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用及函數(shù)零點與方程的根的關系應用，屬于基礎題．