已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．
【答案】分析：（1）假設g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=+g（x）得出a（k-1）x=恒成立，與假設矛盾，從而得出結論；
（2）由于當log2（kx）=+log2x成立時，等價于log2k=，此式顯然當k=4時此式成立，可見，存在非零常數(shù)k=4，使g（kx）=+g（x），從而得出答案．
（3）因為y=logax（ a＞1）與y=x有交點，由圖象知，y=logax與y=必有交點．從而存在k，f（kx）=loga（kx）=logak+logax=+f（x），成立．
解答：解：（1）若f（x）=ax+b∈M，則存在非零常數(shù)k，對任意x∈D均有f（kx）=akx+b=+f（x），
即a（k-1）x=恒成立，得無解，所以f（x）∉M．
（2）log2（kx）=+log2x，則log2k=，k=4，k=2時等式恒成立，
所以f（x）=log2x∈M．
（3）因為y=logax（ a＞1）與y=x有交點，由圖象知，y=logax與y=必有交點．
設logak=，則f（kx）=loga（kx）=logak+logax=+f（x），
所以f（x）∈M．
點評：本小題主要考查元素與集合關系的判斷、對數(shù)的運算法則、對數(shù)函數(shù)的性質、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M，求a的取值范圍；
（3）設函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點，證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體；
①當x∈[0，+∞）時，函數(shù)值為非負實數(shù)；
②對于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)
在三個函數(shù)f1（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln
x+1
中，屬于集合M的是
f3（x）
f3（x）
（寫出您認為正確的所有函數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調函數(shù)；②在f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
 ， 
b
2
]．若函數(shù)g(x)=
x-1
+m，g（x）∈M，則實數(shù)m的取值范圍是
(0 ， 
1
2
]
(0 ， 
1
2
]
．

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