設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù),若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上單調(diào)遞增,在[x*,1]上單調(diào)遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數(shù),x*為峰點,包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.對任意的[0,1]上的單峰函數(shù)f(x),下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.
(I)證明:對任意的
∈(O,1),
,若f(
)≥f(
),則(0,
)為含峰區(qū)間:若f(
)
f(
),則
為含峰區(qū)間:
(II)對給定的r(0<r<0.5),證明:存在
∈(0,1),滿足
,使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r:
(III)選取
∈(O,1),,由(I)可確定含峰區(qū)間為
或
,在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取
,由
與
或
與
類似地可確定一個新的含峰區(qū)間,在第一次確定的含峰區(qū)間為(0,
)的情況下,試確定的值
,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0. 34(區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差)