Question

已知a、b、c成等差數(shù)列且公差d≠0，求證：

1

a

、

1

b

、

1

c

不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差關(guān)系的確定

專題：反證法,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：命題是否定形式的命題的證明一般采用反證法證明．

解答： 證明：假設(shè)

1

a

、

1

b

、

1

c

成等差數(shù)列，

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

即

a-b

ab

=

b-c

bc

，∴

a-b

a

=

b-c

c

又∵a，b，c成等差數(shù)列，且公差d≠0，
∴a-b=b-c≠0．∴a=c，
這與已知數(shù)列a，b，c的公差d≠0，a≠c相矛盾，
所以數(shù)列

1

a

、

1

b

、

1

c

不可能成等差數(shù)列．

點評：本題考查了反證法證明否定性命題．
 反證法是一種間接證法，一般地假設(shè)命題不成立，推出與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出為真的方法叫做反證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法．
用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論．