Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB CB上的點，且DE∥BC，DE=2，CF=1，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使AC⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁E的中點，求CM與平面A₁BE所成角的正弦值；
（3）試問線段A₁C上是否存在點P，使平面FDP∥平面A₁BE？請你說明理由．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明DE⊥平面A₁CD，可得A₁C⊥DE，利用A₁C⊥CD，CD∩DE=D，即可證明A₁C⊥平面BCDE；
（2）建立坐標系，求出平面A₁BE的法向量，

CM

，利用向量的夾角公式，即可求CM與平面A₁BE所成角的正弦值；
（3）利用面面平行的判定定理，我們可以得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE；
（2）解：建立如圖所示的坐標系，AC=2

3

，
則D（-2，0，0），A₁（0，0，2

3

），E（-2，2，0），
∴

AB

=（0，3，-2

3

），

A1E

=（-2，2，-2

3

），
設(shè)平面A₁BE的法向量為

n

=（x，y，z），則

3y-2 3 z=0 -2x+2y-2 3 z=0

，
∴取

n

=（-1，2，

3

）
∵M（-1，1，

3

），
∴

CM

=（-1，1，

3

），
設(shè)CM與平面A₁BE所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

6

8 • 5

=

3 10

10

，
∴CM與平面A₁BE所成角的正弦值為

3 10

10

；
（3）解：連接DF，則
∵DE∥FB，DE=FB，
∴四邊形FBED為平行四邊形，
∴DF∥EB，
∵EB?平面A₁BE，DF?平面A₁BE，
∴DF∥平面A₁BE，
過F作FP∥A₁B交A₁C于P，同理FP∥平面A₁BE，
∵FP∩DF=F，
∴平面FDP∥平面A₁BE，
∴線段A₁C上存在點P，使平面FDP∥平面A₁BE．

點評：本題考查向量知識的運用，考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．