Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值．
（Ⅲ）在線段AF上是否存在點M使得EM∥平面ADC？若存在，請指明點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AE⊥BD于E，由此能證明AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）以E為坐標原點，分別以EF，ED，EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（Ⅲ）設(shè)

AM

=λ

AF

，由已知條件推導出

3

3

λ-(1-λ)

3

=0，由此能求出在線段AF上存在點M，使

EM

∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD
∴AE⊥平面BCD．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）結(jié)論AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．
由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD．
如圖，以E為坐標原點，分別以EF，ED，EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，（4分）
不妨設(shè)AB=BD=DC=AD=2，則BE=ED=1．
由圖1條件計算得，AE=

3

，BC=2

3

，BF=

3

3

則E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(0，-1，0)，A(0，0，

3

)，F(xiàn)(

3

3

，0，0)，C(

3

，2，0)，

DC

=(

3

，1，0)，

AD

=(0，1，-

3

)．
∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量為

EA

=（0，0，

3

）．（6分）
設(shè)平面ADC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DC =0 n • AD =0

，即

3 x+y=0 y- 3 z=0

令z=1，得

n

=（-1，

3

，1）．（8分）
∴cos＜

n

，

EA

＞=

3

3 • 5

=

5

5

，
∴二面角A-DC-B的余弦值為

5

5

．（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)

AM

=λ

AF

，其中λ∈[0，1]．
∵

AF

=(

3

3

，0，-

3

)，
∴

AM

=λ

AF

=λ(

3

3

，0，-

3

)，其中λ∈[0，1]，（10分）
∴

EM

=

EA

+

AM

=(

3

3

λ，0，(1-λ)

3

)，（11分）
由

EM

•n=0，即

3

3

λ-(1-λ)

3

=0，（12分）
解得λ=

3

4

∈(0，1)，（13分）
∴在線段AF上存在點M，使

EM

∥平面ADC，且

AM

AF

=

3

4

．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．