給出下列命題:①若a,b∈R+,a≠b,則a3+b3>a2b+ab2;②若a,b∈R+,a<b,則
a+m
b+m
a
b
;③若
a
c2
b
c2
,則ln a>ln b;
當x∈(0,
π
2
)時,sinx+
2
sinx
的最小值為2
2
;其中正確命題的個數(shù)為( 。
A、0個B、1個C、2個D、3個
分析:對于三個命題分別判斷,正確的給出證明,錯誤的能舉出反例,是解答這類題目的重要方法,另外記住一些結(jié)論對捷達選擇或者填空題很有幫助.本題要一一作出解答.
解答:解:①∵a,b∈R+,a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0,∴a3+b3-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)>0,∴a3+b3>a2b+ab2,此命題正確;
②∵a,b∈R+,a<b,∴b-a>0,∴
a+m
b+m
-
a
b
=
b(a+m)-a(b+m)
b(b+m)
=
m(b-a)
b(b+m)
>0,∴
a+m
b+m
a
b
,命題
a+m
b+m
a
b
不正確;本題可以舉出反例如:設(shè)a=2,b=3,m=1,可驗證命題不正確;
③反例設(shè)a=-1,b=-2,
a
c2
b
c2
成立,但是ln a,ln b均無意義;更談不上ln a>ln b了;
④設(shè)t=sinx∈(0,1),則sinx+
2
sinx
=t+
2
t
2
2
t
=2
2
,當且僅當t=
2
t
sinx=
2
sinx
,sinx=
2
顯然不成立,此命題不正確.
綜上可知只有①正確.
故應(yīng)選:B
點評:本題考查了命題的概念和命題的真假判斷,結(jié)合不等式知識,綜合考查了綜合法,分析法,反證法,比較作差法等不等式的證明方法;另外對均值不等式的應(yīng)用題目設(shè)計很好地體現(xiàn)了學生容易出現(xiàn)的錯誤,很有針對性!
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列命題:
①如果向量
a
b
,
c
共面,向量
b
,
c
,
d
也共面,則向量
a
,
b
,
c
,
d
共面;
②已知直線a的方向向量
a
與平面α,若
a
∥平面α,則直線a∥平面α;
③若P、M、A、B共面,則存在唯一實數(shù)x、y使
MP
=x
MA
+y
MB

④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C,若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
(其中x+y+z=1),則P、A、B、C四點共面; 在這四個命題中為真命題的序號有
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列命題:①已知
a
b
,則
a
•(
b
+
c
)+
c•
(
b
-
a
)
=
b
c
;②A,B,M,N為空間四點,若
BA
,
BM
BN
不構(gòu)成空間的一個基底,那么A,B,M,N共面;③已知
a
b
,則
a
,
b
與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底;④若
a
,
b
共線,則
a
,
b
所在直線或者平行或者重合.正確的結(jié)論為
①②④
①②④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•煙臺三模)給出下列命題:
①存在實數(shù)a,使sinacosa=1;
②存在實數(shù)a,使sina+cosa=
3
2

③y=sin(
5
2
π-2x
)是偶函數(shù);
④x=
π
8
是函數(shù)y=sin(2x+
5
4
π
)的一條對稱軸方程;
⑤若α、β是第一象限角,則tanα>tanβ
其中正確命題的序號是
③④
③④
.(注:把所有正確命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學 來源:福建省三明一中2012屆高三11月學段考試數(shù)學理科試題 題型:013

用a、b、c表示不同的直線,r表示平面,給出下列命題:

(1)若a∥b,b∥c,則a∥c

(2)若a⊥b,b⊥c,則a⊥c

(3)若a∥r,b∥r,則a∥b

(4)若a⊥r,b⊥r,則a∥b

其中真命題的序號是

[  ]
A.

(1)(2)

B.

(2)(3)

C.

(1)(4)

D.

(3)(4)

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科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省栟茶高級中學2012屆高三第一次學情調(diào)研測試數(shù)學試題 題型:022

設(shè)a,b為不重合的兩條直線,α,β為不重合的兩個平面,給出下列命題:

(1)若a∥α且b∥α,則a∥b;

(2)若a⊥α且a⊥β,則α∥β;

(3)若,則一定存在平面γ,使得;

(4)若,則一定存在直線l,使得

上面命題中,所有真命題的序號是________.

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