Question

8．求最值：y=t+$\frac{1}{t}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，通過(guò)解不等式y(tǒng)′＞0，y′＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得結(jié)論．

解答 解：∵y=t+$\frac{1}{t}$，∴y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)t＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)t＜-1時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，-1＜t＜0時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
∴函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$在（-∞，-1）上遞增，在（-1，0）上遞減，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴y=t+$\frac{1}{t}$≤-2，或y=t+$\frac{1}{t}$≥2，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-2]∪[2，+∞）．
故函數(shù)無(wú)最大值，也無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查函數(shù)思想，屬中檔題．