Question

19．已知點M（3，1），直線ax-y+4=0及圓C：（x-1）²+（y-2）²=4
（1）若直線ax-y+4=0與圓C相切，求a的值；
（2）若直線ax-y+4=0與圓C相交于A，B兩點，且弦AB的長為2$\sqrt{3}$，求a的值；
（3）求過點M的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓相切的關(guān)系即可求a的值；
（2）根據(jù)直線和圓相交，以及弦長公式即可求a的值；
（3）根據(jù)直線和圓相切的關(guān)系即可

解答 解：（1）圓心坐標C（1，2），半徑R=2，
若若直線ax-y+4=0與圓C相切，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
解得a=0或a=$\frac{4}{3}$…（4分）
（2）∵圓心到直線ax-y+4=0的距離為d═$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∴（$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4，
解得a=-$\frac{3}{4}$…（8分）
（3）圓心C（1，2），半徑為r=2
當直線的斜率不存在時，直線方程為x=3，
由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，
直線與圓相切．
當直線的斜率存在時，設方程y-1=k（x-3）
即kx-y+1-3k=0
由題意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
即直線方程為y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），
即3x-4y-5=0，
綜上所述，過M點的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0…（14分）

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應用，根據(jù)點到直線的距離公式以及相交弦長公式是解決本題的關(guān)鍵．