(本題滿分14分)

已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn),且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.

(Ⅰ)求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.(5分)

(Ⅱ)設(shè),其中,問:對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)根?若存在,請確定實(shí)數(shù)根的個數(shù).若不存在,請說明理由.(9分)

 

【答案】

(I),單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是

(Ⅱ)對于任意的,方程在區(qū)間上均有實(shí)數(shù)根且當(dāng)時,有唯一的實(shí)數(shù)解;當(dāng)時,有兩個實(shí)數(shù)解。

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由x=0是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一個極值點(diǎn),f(0)=0,得到關(guān)于a,b的一個方程,函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線的斜率為2e2,f(2)=2e2;得到一個關(guān)于a,b的一個方程,解方程組求出a,b即可;

(Ⅱ)把求得的f′(x)代入g(x),方程g(x)=(m-1)2在區(qū)間(-2,m)上是否存在實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,m)上的單調(diào)性、極值、最值問題.

解:(I)………………1分

……………………2分

,故………3分

………………4分

,單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是……5分.

(Ⅱ)解:假設(shè)方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根

設(shè)是方程的實(shí)根,,………………6分

 令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

上有實(shí)根,并討論解的個數(shù)……………………7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011312412990212808/SYS201301131243035740619228_DA.files/image025.png">,,

所以 ①當(dāng)時,,所以上有解,且只有一解.…………………………9分

②當(dāng)時,,但由于,

所以上有解,且有兩解 ……………………………10分

③當(dāng)時,,所以上有且只有一解;

當(dāng)時,,

所以上也有且只有一解…………………………………12分

綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實(shí)數(shù)根且當(dāng)時,有唯一的實(shí)數(shù)解;當(dāng)時,有兩個實(shí)數(shù)解……14分

考點(diǎn):本試題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求函數(shù)f(x)的解析式體現(xiàn)了方程的思想;方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,再求函數(shù)最值中,又用到了分類討論的思想;屬難題

點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,并能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。

 

練習(xí)冊系列答案
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A.選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,直線l 的極坐標(biāo)方程為θ=
π
3
(ρ∈R ),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
(α 參數(shù)).求直線l 和曲線C的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo).
B.選修4-5:不等式選講
設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z 滿足x+y+2z=6,求x2+y2+z2 的最小值,并求此時x,y,z 的值.

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已知點(diǎn)是⊙上的任意一點(diǎn),過垂直軸于,動點(diǎn)滿足。

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(2)已知點(diǎn),在動點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點(diǎn)、,使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由。

 

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(1)求函數(shù)的定義域;

(2)判斷的奇偶性;

(3)方程是否有根?如果有根,請求出一個長度為的區(qū)間,使

;如果沒有,請說明理由?(注:區(qū)間的長度為).

 

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