Question

下列命題：
①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（

π

12

）=0；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），則g′（2013）=2012!；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件；
⑤函數f（x）=

sinx

2+cosx

的單調遞增區(qū)間是（2π-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈z）．
其中真命題為

③⑤

．

Answer 1

分析：分別利用導數的運算以及導數的應用進行判斷即可．

解答：解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①錯誤．
②因為h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′（

π

12

）=-1，所以②錯誤．
③因為g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=1×2×…×2012=2012!，所以③正確．
④三次函數的導數f′（x）=3ax²+2bx+c，要使f（x）有極值點，則f′（x）=3ax²+2bx+c=0有兩個不等的實根，即△=b²-3ac＞0，當a=b=c=0時，△=0，不成立，所以④錯誤．
⑤函數的導數為f′(x)=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

1+2cosx

(2+cosx)2

，由f′（x）＞0，得1+2cosx＞0，即cosx＞-

1

2

，2kπ-

2π

3

  ＜x＜2kπ+

2π

3

 ，k∈Z，
即函數的單調遞增區(qū)間為（2π-

2π

3

，2kπ+

2π

3

）（k∈z），所以⑤正確．
故答案為：③⑤

點評：本題主要考查導數的運算以及導數的應用，比較綜合．