設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方，|PF1|=7，|PF2|=5，cos∠F1F2P=
1
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）拋物線(xiàn)D：y2=4mx（m＞0）過(guò)點(diǎn)P，連接PF2并延長(zhǎng)與拋物線(xiàn)D交于點(diǎn)Q，M是拋物線(xiàn)D上一動(dòng)點(diǎn)（且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)），求△MPQ面積的最大值．
分析：（1）2a=||PF1|+|PF2|=7+5=12，a=6，由cos∠F1F2P=
1
5
，|PF2|=5，得2c=|F1F2|=1+5=6，c=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2
6
），拋物線(xiàn)D：y2=4mx（m＞0）過(guò)點(diǎn)P，故拋物線(xiàn)D：y2=12x．由P（2，2
6
），F(xiàn)2（3，0），得直線(xiàn)PF2的方程為y=-2
6
x+6
6
，聯(lián)立
y2=12x
y=-2
6
x+6
6
，得2x2-13x+18=0，解得P（2，2
6
），Q（
9
2
，-3
6
），先求出|PQ|，再求出M到直線(xiàn)y=-2
6
x+6
6
的最大距離，由此能求出△MPQ面積的最大值．
解答：解：（1）2a=||PF1|+|PF2|=7+5=12，a=6，
如圖，過(guò)P點(diǎn)作PO⊥x軸，交x軸與點(diǎn)O，

∵cos∠F1F2P=
1
5
，|PF2|=5，
∴|OF1|=1，∴|PO|=
25-1
=2
6
，
∵|PF1|=7，∴|F1O|=
49-24
=5，
2c=|F1F2|=1+5=6，c=3，
b2=a2-c2=25-9=16，
∴橢圓C的方程是
x2
25
+
y2
16
=1．
（2）由（1）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2
6
），
∵拋物線(xiàn)D：y2=4mx（m＞0）過(guò)點(diǎn)P，
∴24=16m，解得m=3，∴拋物線(xiàn)D：y2=12x．
∵P（2，2
6
），F(xiàn)2（3，0），
∴直線(xiàn)PF2的方程為：
y
x-3
=
2
6
2-3
，即y=-2
6
x+6
6
，
聯(lián)立
y2=12x
y=-2
6
x+6
6
，消去y，并整理，得2x2-13x+18=0，
解得x=2，或x=
9
2
，
∴P（2，2
6
），Q（
9
2
，-3
6
），|PQ|=
(2-
9
2
)2+(2
6
+3
6
)2
=
25
4
．
設(shè)M（x，
12x
），∵M(jìn)在P與Q之間運(yùn)動(dòng)，∴0≤x≤
9
2
，0≤
x
≤
3
2
2
，
則M到直線(xiàn)y=-2
6
x+6
6
的距離d=
|2
6
x+
12x
-6
6
|
5
=
6
5
|2x+
2
x
-6|，
∴當(dāng)
x
=
3
2
2
時(shí)，dmax=
6
5
|9+3-6|=
6
6
5
，
∴△MPQ面積的最大值S=
1
2
×
25
4
×
6
6
5
=
15
6
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．本題主要考查運(yùn)算，整個(gè)題目的解答過(guò)程看起來(lái)非常繁瑣，注意運(yùn)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線(xiàn)l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線(xiàn)交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線(xiàn)x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線(xiàn)y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案