Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C與x軸、y軸都相切，直線l：x+y-4=0平分圓C的面積．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O的直線l₁將圓C的弧長(zhǎng)分成1：3的兩部分，求直線l₁的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓的相切關(guān)系求出圓心和半徑即可求圓C的方程；
（2）根據(jù)直線l₁將圓C的弧長(zhǎng)分成1：3的兩部分，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題意知，圓心C在直線l：x+y-4=0上；
∵圓C與x軸、y軸都相切，
∴圓心C也在直線y=x上，
即圓心C（2，2），半徑r=2，
故圓C的方程為（x-2）²+（x-2）²=4．
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx，
∵過(guò)原點(diǎn)O的直線l₁將圓C的弧長(zhǎng)分成1：3的兩部分，
∴劣弧所對(duì)的圓心角為90°，
則圓心C到直線的距離d=rcos45°=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
又d=$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$，
解得k=2±$\sqrt{3}$，
故直線l₁的斜率是2±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，比較基礎(chǔ)．