Question

2．已知點(diǎn)F是拋物線y²=2px的焦點(diǎn)，其中p是正常數(shù)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（12，8），點(diǎn)N在拋物線上，且滿足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）若AB，CD都是拋物線經(jīng)過點(diǎn)F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k＞0，C．A兩點(diǎn)在x軸上方，△AFC與△BFD的面積之和為S，求當(dāng)k變化時(shí)S的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出p．即可得到拋物線的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合直線的垂直關(guān)系，求出三角形的面積表達(dá)式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{ON}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OM}$，∴N（9，6），
有點(diǎn)N在拋物線上，36=18p，
解得p=2．
所以該拋物線的方程為y²=4x．…（4分）
（2）由題意得直線AB，CD的斜率都存在且不為零，
∵F（1，0）∴設(shè)直線AB的方程為y=kx-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{{y^2}=4x}\end{array}$消去x得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，${x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}$，x₁x₂=1，①…（6分）
∵AB⊥CD，用$-\frac{1}{k}$反代上式中的k，同理可得：${x_3}+{x_4}=2+4{k^2}$，x₃x₄=1②；…（8分）
${S_{△AFC}}+{S_{△BFD}}=\frac{1}{2}|AF||CF|+\frac{1}{2}|BF||DF|$=$\frac{1}{2}（{x_1}+1）（{x_3}+1）+\frac{1}{2}（{x_2}+1）（{x_4}+1）$=$\frac{1}{2}（{x_1}{x_3}+{x_2}{x_4}+{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}+2）$…（10分）
將①，②代入，可得${S_{△AFC}}+{S_{△BFD}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{{x_2}{x_4}}}+{x_2}{x_4}+6+\frac{4}{k^2}+4{k^2}）≥8$，（當(dāng)且僅當(dāng)k=1，且${x_2}=3-2\sqrt{2}，{x_4}=3+2\sqrt{2}$時(shí)，“=”成立）
∴S_△AFC+S_△BFD的最小值是8．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，拋物線方程的求法，考查計(jì)算能力．