Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)．

Ⅰ若函數(shù)在和上單調(diào)性相反，求的解析式；

Ⅱ若，不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

Ⅲ已知，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，試確定實數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ若函數(shù)在和上單調(diào)性相反，得到是對稱軸，進行求解即可求的分析式；

Ⅱ利用參數(shù)分離法將不等式在上恒成立轉(zhuǎn)化為求最值問題即可，求a的取值范圍；

Ⅲ根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

Ⅰ由單調(diào)性知，函數(shù)為二次函數(shù)，

其對稱軸為，解得，

所求

Ⅱ依題意得，

即在上恒成立，

轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

在上恒成立，

轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

令，則轉(zhuǎn)化為在上恒成立

即，所以

Ⅲ，

設(shè)，，，

則原命題等價于兩個函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有唯一交點．

當時，在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

且，，函數(shù)在區(qū)間有唯一的交點；

當時，圖象開口向下，對稱軸為，

在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

且，

.

當時，圖象開口向上，對稱軸為，

在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

則由，

.

綜上，所求a的取值范圍為