Question

11．對于定義在正整數(shù)集且在正整數(shù)集上取值的函數(shù)f（x）滿足f（1）≠1，且對?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，則f（2）=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令n=1，得到等式f（1）+f（2）+f（f（1））=4，分別討論f（2）的取值，進行排除驗證即可．

解答 解：∵對?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，
∴令n=1，
則f（1）+f（2）+f（f（1））=4，
若f（2）=2，
則f（1）+f（f（1））=2，
則必有f（1）=1，f（f（1））=1，與f（1）≠1矛盾，
若f（2）=3，
則f（1）+f（f（1））=1，
∵定義在正整數(shù)集且在正整數(shù)集上取值的函數(shù)f（x），
∴f（x）≥1，此時方程不成立，
若f（2）=4，
則f（1）+f（f（1））=0，
∵定義在正整數(shù)集且在正整數(shù)集上取值的函數(shù)f（x），
∴f（x）≥1，此時方程不成立，
若f（2）=1，
則f（1）+f（f（1））=3，
∵定義在正整數(shù)集且在正整數(shù)集上取值的函數(shù)f（x），f（1）≠1，
∴f（1）=2，f（2）=1成立，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)值的運算和判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵．