Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求橢圓的標準方程；
（2）若OA⊥OB（其中O為坐標原點），當橢圓的離率e∈[

1

2

，

2

2

]時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率公式求出橢圓中的參數(shù)a，利用橢圓中三個參數(shù)的關系求出b，代入橢圓的方程求出橢圓的標準方程．
（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出兩個交點的橫、縱坐標之積；利用向量垂直的充要條件將
OA⊥OB用交點的坐標表示，得到橢圓的三個參數(shù)的一個等式，再利用橢圓的三個參數(shù)本身的關系得到參數(shù)a與離心率的關系，利用離心率的范圍求出a的范圍，得到橢圓的長軸長的最大值．

解答：解（1）∵e=

3

3

，即

c

a

=

3

3

．又2c=2，解得a=

3

，
則b=

a2-c2

=

2

．
（2）
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
設A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O為坐標原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

(1+

1

1-e2

)．
∵e∈[

1

2

，

2

2

]∴

1

4

≤e2≤

1

2

，
∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，
∴

7

6

≤a2≤

3

2

，適合條件a²+b²＞1，
由此得

42

6

≤a≤

6

2

．
∴

42

3

≤2a≤

6

，
故長軸長的最大值為

6

點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．