Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求線段AB的長；
（2）（文科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求

1

a2

+

1

b2

的值；
（3）（理科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率e∈[

1

2

，

2

2

]時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

分析：（1）由e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

可求a，c結(jié)合a²=b²+c²可求ab，進(jìn)而可求橢圓的方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可求AB
（2）（文）設(shè)P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，結(jié)合韋達(dá)定理可求
（3）（理）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0，聯(lián)立方程由△＞0整理得a²+b²＞1結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系整理得：a²+b²-2a²b²=0，結(jié)合橢圓的性質(zhì)b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式可求

解答：解：（1）∵e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

∴a=

3

，則b=

a2-c2

=

2

∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（2分）
聯(lián)立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

消去y得：5x2-6x-3=0…（3分）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[1+(-1)2]

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

…（7分）
（2）（文）設(shè)P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂，代入上式得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
又將y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，∵△＞0，
∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

代入①化簡得 

1

a2

+

1

b2

=2…（14分）
（3）（理）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1…（8分）又x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1
∴x1x2+y1y2=0得：2x1x2-(x1+x2)+1=0∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
整理得：a²+b²-2a²b²=0∴b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得2a2=1+

1

1-e2

，
∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)

∵ 1 2 ≤e≤ 2 2

，∴

1

4

≤e2≤

1

2

∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3
由此得

42

6

≤a≤

6

2

，
∴

42

3

≤2a≤

6

故長軸長的最大值為

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線與橢圓的相交關(guān)系與方程的轉(zhuǎn)化，解題中要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系得靈活應(yīng)用．