Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）設(shè)．E為PB的中點，求二面角A-ED-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面PAC⊥平面PBD，只需證面PAC內(nèi)一直線垂直平面PBD即可，而BD⊥AC，又PD∩BD=D，則AC⊥面PBD，又AC?面PAC，滿足面面垂直的判定定理所需條件；
（II）以D點為坐標(biāo)原點，DP、DC、DA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，先求出平面ADE的一個法向量，由（Ⅰ）知是平面PBD的一個法向量，最后求出兩法向量得夾角，從而求出二面角的平面角．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PD⊥AC．
又∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又∵PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，
又∵AC?面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．    …（6分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
設(shè)BC=1，則PC=，在Rt△PDC中，PD=1．
∴P（1，0，0）、A（0，0，1）、B（0，1，1）、C（0，1，0）、、．
∵E為PB的中點，，∴．
設(shè)是平面ADE的一個法向量．則由 可求得．
由（Ⅰ）知是平面PBD的一個法向量，且，
∴，即．∴二面角A-ED-B的大小為60． …（12分）
點評：本題主要考查了面面垂直的判斷，同時考查了利用空間向量的方法度量二面角的平面角，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．