Question

【題目】若函數(shù)和滿足：在區(qū)間上均有定義；函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則稱和在上具有關(guān)系W．

若，，判斷和在上是否具有關(guān)系W，并說明理由；

若和在上具有關(guān)系W，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

（1）根據(jù)[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上具有關(guān)系G．利用特殊值但判斷出即可；（2）根據(jù)在區(qū)間[a，b]上具有關(guān)系G的性質(zhì)，結(jié)合x∈[1，4]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，討論m即可．

（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有關(guān)系G．

令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣2，

∵h(yuǎn)（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0；

故h（1）h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上連續(xù)，

故函數(shù)y=f（x）﹣g（x）在區(qū)間[1，2]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

故f（x）和g（x）在[1，3]上具有關(guān)系G；

（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，

當(dāng)m≤0時(shí)，易知h（x）在[1，4]上不存在零點(diǎn)，

當(dāng)m＞0時(shí)，h（x）=，

當(dāng)1≤x≤2時(shí)，

由二次函數(shù)知h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，

故，

故m∈[，3]，

當(dāng)m∈（0，）∪（3，+∞）時(shí)，

若m∈（0，），則h（x）在（2，4]上單調(diào)遞增，

而h（2）＞0，h（4）＞0；

故沒有零點(diǎn)；

若m∈（3，+∞），則h（x）在（2，4]上單調(diào)遞減，

此時(shí)，h（2）=﹣4m+1＜0；

故沒有零點(diǎn)；

綜上所述，

若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有關(guān)系G，

則m∈[，3]．