Question

已知a＞0，命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立，命題q：?k∈R，直線(xiàn)kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1有公共點(diǎn)，求使得p∨q為真命題，p∧q為假命題的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)基本不等式，以及通過(guò)方程判斷直線(xiàn)和橢圓交點(diǎn)情況方法即可求出命題p，q下a的取值范圍．根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題，知道p真q假，或p假q真，求出這兩種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p：因?yàn)閍＞0時(shí)，對(duì)?x＞0，x+

a

x

≥2

a

，則：
2

a

≥2，a≥1；
命題q：由

kx-y+2=0 x2+ y2 a2 =1

得：（k²+a²）x²+4kx+4-a²=0 則：
△=4a²（a²+k²-4）≥0，即a²≥-k²+4；
而-k²+4在R上的最大值為4；
∴a²≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；
p∨q為真命題，p∧q為假命題時(shí)，p，q一真一假；
∴（1）若p真q假，則：

a≥1 0＜a＜2

；
∴1≤a＜2；
（2）若p假q真，則：

0＜a＜1 a≥2

；
∴a∈∅；
綜上可得，a的取值范圍是[1，2）．

點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，直線(xiàn)和橢圓交點(diǎn)情況和對(duì)應(yīng)方程組解的關(guān)系，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．