Question

某旅游公司提供甲、乙、丙三處旅游景點(diǎn)，游客選擇游玩哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，已知某游客選擇游甲地而不選擇游乙地和丙地的概率為0.08，選擇游甲地和乙地而不選擇游丙地的概率為0.12，在甲、乙、丙三處旅游景點(diǎn)中至少選擇一個(gè)景點(diǎn)的概率為0.88，用ξ表示該游客在甲、乙、丙三處景點(diǎn)中選擇游玩的景點(diǎn)數(shù)和沒有選擇游玩的景點(diǎn)數(shù)的乘積．
（1）記“函數(shù)f（x）=x²+ξx是R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，ξ的所有可能取值為0，2，根據(jù)ξ=0的意義求得P（ξ=0）的值．而函數(shù)f（x）=x²+ξx是R上的偶函數(shù)時(shí)ξ=0，可得P（A）=P（ξ=0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（ξ=2）=1-P（ξ=0），再根據(jù)E（ξ）的定義求得它的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)該游客選擇游玩甲、乙、丙景點(diǎn)的概率依次為P₁，P₂，P₃，由題意知

P1(1-P2)(1-P3)=0.08 P1P2(1-P3)=0.12 1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)=0.88

，解得

P1=0.4 P2=0.6 P3=0.5

．…（3分）
依題意，ξ的所有可能取值為0，2，
ξ=0的意義是：該游客游玩的旅游景點(diǎn)數(shù)為3，沒游玩的旅游景點(diǎn)數(shù)為0；或游玩的旅游景點(diǎn)數(shù)為0，
沒游玩的旅游景點(diǎn)數(shù)為3，
故P（ξ=0）=（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）+0.4×0.6×0.5=0.24．…（6分）
而函數(shù)f（x）=x²+ξx是R上的偶函數(shù)時(shí)ξ=0，所以P（A）=P（ξ=0）=0.24．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76，…（10分）
ξ的概率分布列為：

ξ	0	2
P	0.24	0.76

其數(shù)學(xué)期望是：E（ξ）=0×0.24+2×0.76=1.52．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查古典概率及其計(jì)算公式的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．