Question

（1）已知一個圓錐母線長為4，母線與高成45°角，求圓錐的底面周長．
（2）已知直線l與平面α成φ，平面α外的點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在平面α上，且AB與直線l成θ，
①若φ=60°，θ=45°，求點(diǎn)B的軌跡；
②若任意給定φ和θ，研究點(diǎn)B的軌跡，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵圓錐的母線長為4，母線與高成45°角，
高和底面半徑與母線構(gòu)成一個等腰直角三角形，
即高和底面半徑長度一樣，
則由勾股定理可知底面半徑為2，
則由圓周公式2πR可算出底面周長4π； （2分）
（2）①設(shè)l∩α=C，點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．
設(shè)B（x，y，0），則=（0，-acos60°，-asin60°）．
=（x，y，-asin60°）．
∴．
又∵|•cos45°=a•．
∴-acos60°•y+a²sin60°=a． （11分）
平方整理得cos²45°•x²+（cos²45°-cos²60°）y²+a²ysin60°sin120°+a²sin²60°（cos²45°-sin²60°）=0．
即，
∴點(diǎn)B的軌跡橢圓； （4分）
②設(shè)l∩α=C，點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜）．設(shè)B（x，y，0），則（6分）=（0，-acosφ，-asinφ）．
=（x，y，-asinφ）．
∴φ．
又∵|•cosθ=a••cosθ．
∴-acosφ•y+a²sinφ=a． （11分）
平方整理得cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．
i．當(dāng)cos²θ-cos²φ=0，即θ=φ時，上式為拋物線方程；
ii．當(dāng)cos²θ-cos²φ＞0，即θ＜φ時，上式為橢圓方程；
iii．當(dāng)cos²θ-cos²φ＜0，即θ＞φ時，上式為雙曲線方程．（14分）
故當(dāng)φ=時，點(diǎn)B的軌跡為圓；
當(dāng)θ＜φ＜時，點(diǎn)B的軌跡為橢圓；
當(dāng)θ=φ＜時，點(diǎn)B的軌跡為拋物線；
當(dāng)θ＞φ時，點(diǎn)B的軌跡為雙曲線． （16分）
分析：（1）由圓錐的母線長為4，母線與高成45°角，知高和底面半徑與母線構(gòu)成一個等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半徑為2，由圓周公式2πR可算出底面周長．
（2）①設(shè)l∩α=C，點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O．建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．設(shè)B（x，y，0），則=（0，-acos60°，-asin60°）．=（x，y，-asin60°）．所以．又由|•cos45°，知-acos60°•y+a²sin60°=a，平方整理得，由此知點(diǎn)B的軌跡．
②設(shè)l∩α=C，點(diǎn)A在平面α上的射影為點(diǎn)O．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜）．設(shè)B（x，y，0），則（6分）=（0，-acosφ，-asinφ）．=（x，y，-asinφ）．所以φ．由|•cosθ=a••cosθ．知cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．故當(dāng)φ=時，點(diǎn)B的軌跡為圓；當(dāng)θ＜φ＜時，點(diǎn)B的軌跡為橢圓；當(dāng)θ=φ＜時，點(diǎn)B的軌跡為拋物線；當(dāng)θ＞φ時，點(diǎn)B的軌跡為雙曲線．
點(diǎn)評：第（1）題考查圓錐的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
第（2）題考查圓錐曲線的軌跡的求法和判斷，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．