Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 （1）連接CD后，根據(jù)圓周角定理及∠BEC為△ABE與△CDE的共公角，我們易得△ABE∽△CDE，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，結(jié)合比例的性質(zhì)，易得答案．
（2）AB是⊙O的直徑所對(duì)的圓周角為直角，易得△ECB為直角三角形，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，我們易得E，F(xiàn)，C，B到點(diǎn)D的距離相等，即E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓

解答 證明：（1（連接CD，如圖所示：
由圓周角定理，我們可得∠C=∠B
又由∠BEC為△ABE與△CDE的公共角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE²…（5分）
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ECB=90°，∴CD=$\frac{1}{2}$BE，
∵EF⊥BF，∴FD=$\frac{1}{2}$BE，
∴E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)與點(diǎn)D等距，
∴E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓  …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，屬于中檔題．