Question

11．若點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點(diǎn)B（-2，$\frac{1}{4}$）在冪函數(shù)g（x）的圖象上，定義h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≤g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$．
（1）試求函數(shù)h（x）的最小值以及單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程h（x）-k=0在R上有四解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出分段函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）畫出函數(shù)的圖象，利用方程的四個(gè)解，推出k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x^α，點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，
可得2=$（\sqrt{2}）^{α}$，α=2，f（x）=x²．
設(shè)g（x）=x^α，點(diǎn)B（-2，$\frac{1}{4}$）在冪函數(shù)g（x）的圖象上，
可得$\frac{1}{4}={（-2）}^{α}$，解得α=-2，
g（x）=x^-2．
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≤g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$．
可得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）\\{x}^{-2}，x∈（-1，0）∪（0，1）\end{array}\right.$．函數(shù)的圖象如圖：

函數(shù)的最小值為1，單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，-1），（0，1）；單調(diào)增區(qū)間（-1，0），（1，+∞）．
（2）方程h（x）-k=0在R上有四解，
可知y=h（x）與y=k有四個(gè)交點(diǎn)．由函數(shù)的圖象可知k＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，冪函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查計(jì)算能力．