Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 滿足a₁=a，an+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a、c為實數(shù)，且c≠0．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（2）設(shè)a=，c=，b_n=n（a-a_n）（n∈N^*），求數(shù)列 {b_n}的前n項和S_n．
（3）設(shè)，（n∈N^*），記，設(shè)數(shù)列{d_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）把給出的遞推式移向后討論a，當(dāng)a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數(shù)列，求出通項公式后驗證a=1時成立；
（2）把數(shù)列{a_n} 的通項公式代入b_n=n（a-a_n），然后利用錯位相減法求數(shù)列 {b_n}的前n項和S_n；
（3）把數(shù)列{a_n} 的通項公式代入化簡，然后由放縮得到，最后通過求和證明T_n＜．
解答：（1）解：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴當(dāng)a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數(shù)列，
∴，即．
當(dāng)a=1時，a_n=1仍滿足上式．
∴數(shù)列{a_n} 的通項公式為；
（2）解：由（1）得，當(dāng)a=，c=時，
b_n=n（1-a_n）=n{1-[1-]}=n 
∴


兩式作差得


=；  
（3）證明：
d_n=c_2n-c_2n-1=
又，∴，
當(dāng)n=1時，，
當(dāng)n≥2時，

．
點評：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了放縮法求證不等式，是難題．