Question

20．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為120°，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ（0°＜θ＜60°）且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}$|=2$\sqrt{3}$，（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=3
（1）求θ的度數(shù)
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$=k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$
①若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，試求實(shí)數(shù)k的值
②若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{AB}$，試求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算及三角運(yùn)算即可解得結(jié)論；
（2）利用向量垂直與平行的條件列出等式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=3得2$\sqrt{3}$cosθ+2$\sqrt{3}$cos（120°-θ）=3，即sin（30°+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°＜θ＜60°，∴30°+θ=60°，∴θ=30°．
（2）①∵$\overrightarrow{a}$=k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴（k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，即（k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=0，
即k$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-k${\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0，即kcos120°-k-2$\sqrt{3}$cos90°+2$\sqrt{3}$cos30°=0，
整理得$-\frac{1}{2}$k-k+3=0，解得k=2．
②由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{AB}$得，|k•$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$|=$|\overrightarrow{OC}|$，即${k}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}$-2k$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
即k²-2k×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，即k²-6k=0，
解得：k=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了學(xué)生向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，以及向量垂直、平行的充要條件，屬于中檔題．