Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的最小值為0，求的值；

（2）設，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設函數(shù)與函數(shù)的圖像的一個公共點為，若過點有且僅有一條公切線，求點的坐標及實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)區(qū)間見解析；（3），

【解析】

（1）分類討論參數(shù)的值，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值求出的值；

（2）函數(shù)整理為，分類討論參數(shù)的值，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可；

（3）設出點P坐標，求出坐標間的關系得出，構造函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性解方程即可.

（1）首先，因，故，

注意到，故當時，，則函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)無最小值；

當時，若，，若，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

故函數(shù)在處取最小值，則，即，故；

（2）因，故

①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②若

當，即，也即時

若時，或

若時，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；

當，即，也即時

若時，或

若時，

所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和

當時，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

綜上：

當，函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間是；

當時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是和.

（3）設點，

由題意得，即 ，解得

構造函數(shù)，，

當時，；當時，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而

所以方程有唯一解，即

所以