Question

若有兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的圓錐曲線上存在點(diǎn)P，使|PF₁|=3|PF₂|成立，則稱該圓錐曲線上存在“α”點(diǎn)，現(xiàn)給出四個(gè)圓錐曲線：①

x2

4

-

y2

12

=1  ②x²-

y2

15

=1  ③

x2

9

+

y2

7

=1  ④

x2

12

+

y2

4

=1，其中存在“α”點(diǎn)的圓錐曲線有（　�。�

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,閱讀型,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別求出曲線①②③④的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式化簡整理得到P的軌跡方程，聯(lián)立曲線方程，消去y，解關(guān)于x的方程，注意曲線的范圍，判斷即可得到．

解答： 解：對于①，

x2

4

-

y2

12

=1的焦點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），設(shè)P（x，y），
則由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+4）²+y²=9[（x-4）²+y²]，化簡得x²+y²-10x+16=0，
代入雙曲線的方程，消去y，得3x²-（10x-16-x²）=12，即為2x²-5x+2=0，解得x=2或

1

2

，
由雙曲線的范圍可得x≥2，故存在P，則①正確；
對于②，x²-

y2

15

=1的焦點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），則P（x，y）的軌跡方程為x²+y²-10x+16=0，
代入雙曲線的方程，消去y，得15x²-（10x-16-x²）=15，即為16x²-10x+1=0，解得x=

1

8

或

1

2

，
由雙曲線的范圍為x≥1，故不存在點(diǎn)P，則②不正確；
對于③，

x2

9

+

y2

7

=1的焦點(diǎn)F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），設(shè)P（x，y），
則由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+

2

）²+y²=9[（x-

2

）²+y²]，化簡得x²+y²-

5 2

2

x+2=0，
代入橢圓方程，消去y得2x²-

45 2

2

x+81=0，可得判別式大于0，兩根之積為

81

2

＞9，
由橢圓的范圍可得|x|≤3，故不存在P，則③不正確；
對于④，

x2

12

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），設(shè)P（x，y），
則由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+2

2

）²+y²=9[（x-2

2

）²+y²]，化簡得x²+y²-5

2

x+8=0，
代入橢圓方程，消去y得2x²-15

2

x+36=0，可得x=6

2

或

3 2

2

，
由橢圓的范圍可得|x|≤2

3

，即有x=

3 2

2

成立，故存在P，則④正確．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，注意聯(lián)立方程求解時(shí)，別忽視圓錐曲線的范圍，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題和易錯(cuò)題．