Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²（a∈R），若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是$[{0，\frac{e}{2}}]$．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可將條件轉(zhuǎn)化為：f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，再對x分類討論并分離出常數(shù)a，分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值，從而可求出a的取值范圍．

解答 解：要使函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=1≥0恒成立，a∈R；
②當(dāng)x＞0時(shí)，2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則$g′（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤$\frac{e}{2}$；
③當(dāng)x＜0時(shí)，2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∵$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0，∴2a≥0，則a≥0，
綜上可得，a的取值范圍是$[{0，\frac{e}{2}}]$，
故答案為：$[{0，\frac{e}{2}}]$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查分離常數(shù)法，分類討論思想，屬于中檔題．