Question

（2012•南京二模）已知關(guān)于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為

1

．

Answer 1

分析：考察函數(shù) f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在 R 上為偶函數(shù)，因此圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，由題意可得 f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) a=-3 時(shí)，
f（x） ）=0 至少有三個(gè)根，不滿足題意，故把 a=-3舍去，而a=1滿足條件，由此得出結(jié)論．

解答：解：考察函數(shù) f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在 R 上為偶函數(shù)，因此圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱．
因?yàn)?f（x）=0 有唯一解，因此這個(gè)解一定是 x=0，即  f（0）=0，即 （a-1）（a+3）=0．
解得 a=1 或 a=-3．
當(dāng) a=1 時(shí)，f（x）=x2+2log2(x2+2)-2≥0+2log₂2-2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，因此關(guān)于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解 x=0．
當(dāng) a=-3 時(shí)，f（x）=x2-6log2(x2+2)+6，
因?yàn)?f（

30

）=30-6×5+6=6＞0，f（

14

）=14-6×4+6=-4＜0，
因此 f（x）=0 至少有三個(gè)根，不滿足題意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，則 a=1．
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)應(yīng)用，注意排除a=-3，這是解題的難點(diǎn)．