Question

如圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一段圖象，其函數(shù)模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

（Ⅰ）根據(jù)圖象求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）圖象上所有的點(diǎn)向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若實(shí)數(shù)α滿足0＜α＜π，

∫

π α

g（x）dx=3，求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,定積分,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用y=Asin（ωx+φ）的部分圖象可知A=2，T=π，從而可求得ω=1；再由1×

π

6

+φ=2kπ（k∈Z），-

π

2

＜φ＜

π

2

，可求得φ，于是可得其解析式；
（Ⅱ）利用微積分基本定理可求得cosα=

1

2

，結(jié)合已知即可求得α的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖知A=2，

1

2

T=

7π

6

-

π

6

=π，
∴T=

2π

ω

=2π，解得ω=1；
又1×

π

6

+φ=2kπ（k∈Z），-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

；
∴f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx，
∴

∫

π α

g（x）dx=-2cosx

|

π α

=-2（cosπ-cosα）=2+2cosα=3，
∴cosα=

1

2

，又0＜α＜π，
∴α=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查微積分基本定理與余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查識(shí)圖與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．