Question

14．設(shè)P是圓O：x²+y²=1的一點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OP為終邊的角記為θ（0≤θ＜2π），又向量$\overrightarrow{e}$=（$\sqrt{3}$，-1），且f（θ）=$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{OP}$．
（1）求f（θ）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若關(guān)于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和的余弦公式，可得函數(shù)f（θ），再由余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，化簡(jiǎn)可得所求減區(qū)間；
（2）關(guān)于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）內(nèi)有兩個(gè)不同的解，即為y=cos（θ+$\frac{π}{6}$）的圖象與y=2sinα有兩個(gè)交點(diǎn)，求得2cos（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-2，0]，再解sinα∈（-1，0]，可得α的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
f（θ）=$\overrightarrow{e}•\overrightarrow{OP}$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）
=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），
由2kπ≤θ+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，解得2kπ-$\frac{π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
由0≤θ＜2π，當(dāng)k=0時(shí)，-$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{5π}{6}$，
k=1時(shí)，$\frac{11π}{6}$≤θ≤$\frac{17π}{6}$，
即有f（θ）的單調(diào)減區(qū)間為[0，$\frac{5π}{6}$]，[$\frac{11π}{6}$，2π）；
（2）關(guān)于θ的方程f（θ）=2sinα在[$\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}$）內(nèi)有兩個(gè)不同的解，
即有$\frac{π}{2}$≤θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，由y=cos（θ+$\frac{π}{6}$）的圖象可得在[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]可得
2cos（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-2，0]，
即有sinα∈（-1，0]，
解得α的取值范圍是：2kπ+π≤α≤2kπ+2π，且α≠2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，兩角和的余弦公式以及余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查方程與函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．