Question

19．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N₊）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n．
（Ⅰ）令a_n=lgx_n，試求a₁+a₂+…+a₉的值；
（Ⅱ）令nf（n）=x_n，是否存在最大的正整數(shù)m，使得f（n）+f（n+1）+f（n+2）+…+f（2n-1）＞$\frac{m}{24}$對(duì)一切n∈N₊都成立？若存在，求出m值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切線的方程令令y=0得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，可得a_n=lgx_n，即可求a₁+a₂+…+a₉的值；
（Ⅱ）先求出m的最大值是11，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（Ⅰ）y′=（n+1）x^n-1（n∈N₊），∵點(diǎn)（1，1）在曲線y=xⁿ⁺¹上，∴切線斜率為k=n+1，
∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1），令y=0得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，…（2分）
于是a_n=lg$\frac{n}{n+1}$，∴a₁+a₂+…+a₉=lg$\frac{1}{2}$+lg$\frac{2}{3}$+…+lg$\frac{9}{10}$=lg$\frac{1}{10}$=-1  …（4分）
（Ⅱ）由nf（n）=x_n得f（n）=$\frac{1}{n+1}$，∴f（n）+f（n+1）+f（n+2）+…+f（2n-1）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$
假設(shè)存在最大的正整數(shù)m，使$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{m}{24}$恒成立
當(dāng)n=1時(shí)，由$\frac{1}{2}$＞$\frac{m}{24}$得，m＜12 …①；當(dāng)n=2時(shí)，由$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞$\frac{m}{24}$得m＜14 …②；
當(dāng)n=3時(shí)，由$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$＞$\frac{m}{24}$得m＜14.8 …③…（6分）
由①②③可猜測(cè)，m的最大值是11．…（8分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{11}{24}$對(duì)一切n∈N₊都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述可知，不等式顯然成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥1，k∈N）時(shí)，命題成立，即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$＞$\frac{11}{24}$   …（10分）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$+（$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$-$\frac{1}{k+1}$）
＞$\frac{11}{24}$+（$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$），∵$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$＞0，∴$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$＞$\frac{11}{24}$
即n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（11分）
由（1）與（2）知，不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＞$\frac{11}{24}$對(duì)一切n∈N₊都成立．
因此，存在最大正整數(shù)m，且m=11滿足題設(shè)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．