Question

已知函數(shù)，
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）
=1-cos（-2x）-cos2x
=1-sin2x-cos2x
=1-2sin（2x+），
故最小正周期T==π，
由-+2kπ≤2x++2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)減區(qū)間為[+kπ，+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，]，則2x+∈[，]，則sin（2x+）∈[，1]，
則f（x）∈[-1，1-]，即f（x）在上的值域?yàn)閇-1，1-]．
因?yàn)閒（x）＜m+2在上恒成立，所以m+2＞1-，
解得m＞-1-．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1-，+∞）．
分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行變形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求其減區(qū)間；
（2）要使f（x）＜m+2在上恒成立，只要x∈[0，]時(shí)f（x）_max＜m+2即可．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題及三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題往往需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進(jìn)行處理．