Question

已知 ().
（1）當(dāng)時,判斷在定義域上的單調(diào)性；
（2）若在上的最小值為,求的值；
（3）若在上恒成立，試求的取值范圍.

Answer 1

（1）單調(diào)遞增 （2）  （3）

試題分析：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用作差比較法、導(dǎo)函數(shù)法.其共同點(diǎn)都是與0比大小確定單調(diào)性.也可以利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性來判斷：當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021826916482.png" style="vertical-align:middle;" />與在上都是單調(diào)遞增，所以 （）在定義域上單調(diào)遞增；（2）利用導(dǎo)函數(shù)法求閉區(qū)間上的最值，首先要求出極值，然后再與兩個端點(diǎn)函數(shù)值比較得出最值；既要靈活利用單調(diào)性，又要注意對字母系數(shù)進(jìn)行討論；（3）解決“恒成立”問題，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新構(gòu)造函數(shù)的最值（或值域）.
試題解析：(1)由題意得，且                                       1分
顯然，當(dāng)時，恒成立，在定義域上單調(diào)遞增；                3分
(2)當(dāng)時由（1）得在定義域上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，
即（與矛盾，舍）；                          5分
當(dāng)，顯然在上單調(diào)遞增，最小值為0，不合題意；            6分
當(dāng)，，

若（舍）；
若（滿足題意）；
（舍）；                    9分
綜上所述．                                                         10分
(3)若在上恒成立，即在上恒成立,(分離參數(shù)求解)
等價于在恒成立，
令.  則；                    11分
令，則
顯然當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,,
即恒成立,說明在單調(diào)遞減,；            13分
所以.                                                                  14分