Question

已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng) 時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查思維能力、運(yùn)算能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.第一問(wèn)，考查求導(dǎo)求極值問(wèn)題；第二問(wèn)，是恒成立問(wèn)題，將第一問(wèn)的代入，整理表達(dá)式，得出，構(gòu)造函數(shù)，下面的主要任務(wù)是求出函數(shù)的最小值，所以；第三問(wèn)，是不等式的證明，先利用放縮法構(gòu)造出所證不等式的形式，構(gòu)造數(shù)列，利用累加法得到所證不等式的左邊，右邊利用裂項(xiàng)相消法求和，再次利用放縮法得到結(jié)論.
試題解析：（1）由題意，,所以       2分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022050030379.png" style="vertical-align:middle;" />所以,故在上單調(diào)遞增．        8分
所以,從而
在上單調(diào)遞增,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．                    10分
（3）由(2) 知恒成立,
即         12分
令則，        14分
所以， ，  ,．
將以上個(gè)式子相加得：，
故．               16分