【題目】已知函數(shù) (為自然對數(shù)的底數(shù), ).
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)求證:當(dāng),且時, .
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),列出變化表,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)問題等價于, 設(shè), 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
試題解析:
(1)解 由f(x)=ex-3x+3a,x∈R知f′(x)=ex-3,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 3,
于是當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表.
x | (-∞,ln 3) | ln 3 | (ln 3,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 3(1-ln 3+a) |
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln 3],
單調(diào)遞增區(qū)間是[ln3,+∞),
f(x)在x=ln 3處取得極小值,極小值為f(ln 3)=eln3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).
(2)證明:待證不等式等價于
設(shè),x∈R,
于是,x∈R.
由(I)及知: 的最小值為g′(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0.
于是對任意x∈R,都有>0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)時,對任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即,故.
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【題目】如圖,在四棱錐中, , , 平面, .設(shè)分別為的中點.
(1)求證:平面∥平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣
(1)若f(x)是R上的奇函數(shù),求m的值
(2)用定義證明f(x)在R上單調(diào)遞增
(3)若f(x)值域為D,且D[﹣3,1],求m的取值范圍.
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知2cosA(bcosC+ccosB)=a.
(1)求角A;
(2)若a= ,b+c=5,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點M,N,E分別是棱A1B1 , A1D1 , C1D1的中點.
(1)過AM作一平面,使其與平面END平行(只寫作法,不需要證明);
(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中,求直線AM與平面BMND所成角的正弦值.
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【題目】已知命題p:x∈[1,12],x2﹣a≥0.命題q:x0∈R,使得x02+(a﹣1)x0+1<0.若p或q為真,p且q為假,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中實數(shù)為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,解關(guān)于的不等式;
(3)當(dāng)時,如果函數(shù)不存在極值點,求的取值范圍.
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【題目】已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);
(2)求線段AB 的中點M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實數(shù) k,使得直線L:y=k(x﹣4)與曲線 C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
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