Question

已知f（x）是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-6x-3
（1）求f（x）的解析式
（2）當(dāng)t＜-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，利用f（x）=-f（-x）可求f（x）；
（2）由題意可得函數(shù)f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-6x-3=（x-3）²-12，圖象開口向上且關(guān)于x=3對稱，得到函數(shù)在已知區(qū)間的單調(diào)性，從而求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）對任意的x都成立，∴f（0）=0；
又x＞0時(shí)，f（x）=x²-6x-3．
∴x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）²-6（-x）-3=x²+6x-3=-f（x），所以x＜0時(shí)，f（x）=-x²-6x+3，
∴f（x）的解析式為：f（x）=

x2-6x-3，x＞0 0，x=0 -x2-6x-3，x＜0

；
（2）由題意可得函數(shù)f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-6x-3=（x-3）²-12，圖象開口向上且關(guān)于x=3對稱，

因?yàn)閠＜-1，所以t+1＜0，所以函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在[t，t+1]最大值為f（t）=t²-6t-3．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的求法以及二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值的求法，是經(jīng)�？疾榈念}型．