在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,現(xiàn)沿AC折成二面角D-AC-B,使BD為異面直線AD、BC的公垂線.
(1)求證:平面ABD⊥平面ABC;
(2)當a為何值時,二面角D-AC-B為45°.

(1)證明:由題知BC⊥BD,又BC⊥AB,
∴BC⊥面ABD,
∴面ABC⊥面ABD、
(2)解:作DE⊥AB于E,
由(1)知DE⊥面ABC,作EF⊥AC于F,連DF,則DF⊥AC,
∴∠DFE為二面角D-AC-B的平面角,
即∠DFE=45°.EF=DE=DF,
∵DF=,AF==,
解得a2=,a=
分析:(1)要證平面ABD⊥平面ABC,只需證明平面ABC內(nèi)的直線BC,垂直平面ABD內(nèi)的兩條相交直線BD、AB即可;
(2)說明∠DFE為二面角D-AC-B的平面角,利用二面角D-AC-B為45°,然后解三角形求出a的值即可.
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,二面角及其度量,考查邏輯思維能力,是中檔題.
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3
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