如圖,在矩形ABCD中,已知AD=2,AB=a(a>2),E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD上的點(diǎn),若AE=AF=CG=CH,問AE取何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?并求最大的面積.
分析:設(shè)AE=x,四邊形EFGH的面積為S,則可知S=2a-x2-(2-x)(a-x),化簡并配方得S=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2],即函數(shù)的對稱軸為x=
a+2
4
,從而分類討論可求函數(shù)的最大值.
解答:解:設(shè)AE=x,四邊形EFGH的面積為S,則-----------------------------------------(1分)
S=2a-x2-(2-x)(a-x)
=-2x2+(a+2)x
=-2(x-
a+2
4
)2+
(a+2)2
8
,x∈(0,2]
(1)若
a+2
4
≤2
,即2<a≤6,則當(dāng)x=
a+2
4
時(shí),S取得最大值是Smax=
(a+2)2
8
;--(8分)
(2)若
a+2
4
>2
,即a>6,函數(shù)S=-2x2+(a+2)x在區(qū)間(0,2]上是增函數(shù),
則當(dāng)x=2時(shí),S取得最大值是Smax=2a-4;------(12分)
綜上可得面積EFGH的最大值為
(a+2)2
8
       ,2<a≤6
2a-4               ,a>6
點(diǎn)評:本題以實(shí)際問題為載體,考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建,考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論,解題的關(guān)鍵是針對函數(shù)的定義域,結(jié)合函數(shù)的對稱軸分類討論.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AC,DF相交于點(diǎn)G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍,求動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點(diǎn)F,使DF∥平面ABE.

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