Question

【題目】己知函數(shù)， ．

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)，已知函數(shù)在上是增函數(shù)．

(1)研究函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）(1)1個(gè);(2) .

【解析】試題分析(1) 對函數(shù)求導(dǎo),①當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2) （1）當(dāng)時(shí)，函數(shù) ， , 在上單調(diào)遞減．又， ，由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知， 在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0．∴當(dāng)時(shí)， =求導(dǎo)，得在， 上恒成立． ①當(dāng)時(shí)， min= 極小值= ，故“在上恒成立”，只需 ．②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，綜合①②知， 的取值范圍是．

試題解析:（Ⅰ）∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)，

在時(shí)， ，

在時(shí)， ，

故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，

在時(shí)， ，

在時(shí)， ，

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù) ，

求導(dǎo)，得，

當(dāng)時(shí)， 恒成立，

當(dāng)時(shí)， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0．

∴當(dāng)時(shí)， =

求導(dǎo)，得

由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知：

在， 上恒成立．

①當(dāng)時(shí)， 上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則， ，

當(dāng) 變化時(shí)， ， 變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，

綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．