Question

14．在曲線y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為$\frac{1}{12}$，試求：
（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過切點(diǎn)A的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程，先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），只須在切點(diǎn)處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．
（2）結(jié)合（1）求出其斜率k的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（1）如圖示：
，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），過點(diǎn)A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過點(diǎn)A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，令y=0，得x=$\frac{a}{2}$，
則S=S_△ABO-S_△ABC=-（$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{2}$•a²-${∫}_{0}^{a}$x²dx）=$\frac{{x}^{3}}{3}$${|}_{0}^{a}$-$\frac{{a}^{3}}{4}$=$\frac{{a}^{3}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=1
∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
（2）由（1）得：A的坐標(biāo)為（1，1），
∴k=2x=2，
∴過切點(diǎn)A的切線方程是y=2x-1．

點(diǎn)評 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、定積分的應(yīng)用、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．