【題目】已知橢圓的離心率為,且以橢圓的兩焦點和短軸的一個端點為頂點的三角形的周長恰為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)動直線與拋橢圓相交于,兩點,問:在軸上是否存在定點(其中,使得向量與向量共線(其中為坐標(biāo)原點)?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的焦點三角形的周長為,再由離心率得出關(guān)系,求出值,即可求出結(jié)論;
(2)根據(jù)與角平分線共線,又與共線,得到軸為的角平分線,轉(zhuǎn)化為的傾斜角互補,斜率和為零,聯(lián)立直線和橢圓方程,運用根與系數(shù),將斜率和轉(zhuǎn)化為關(guān)系,即可求解.
(1)橢圓的離心率為,
即有,
橢圓的兩焦點和短軸的一個端點為頂點的三角形的周長恰為,
可得,解得,,
則橢圓的方程為;
(2)在軸上假設(shè)存在定點(其中,
使得與向量共線,
由,均為單位向量,且它們的和向量與共線,
可得軸平分,
設(shè),,,,
聯(lián)立和,
得,
△恒成立.
,①
設(shè)直線、的斜率分別為,,
則由得,
,
,②
聯(lián)立①②,得,
故存在滿足題意,
綜上,在軸上存在一點,使得軸平分,
即與向量共線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲居住在城鎮(zhèn)的處,準(zhǔn)備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如:算作兩個路段:路段發(fā)生堵車事件的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).
(1)請你為甲選擇一條由到的最短路線
(即此人只選擇從西向東和從南向北的路線),
使得途中發(fā)生堵車事件的概率最;
(2)設(shè)甲在路線中遇到的堵車次數(shù)為隨機變量,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線:=0(a>0),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;
(1)求曲線,的極坐標(biāo)方程;
(2)已知極坐標(biāo)方程為=的直線與曲線,分別相交于P,Q兩點(均異于原點O),若|PQ|=﹣1,求實數(shù)a的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時,有兩個零點;
(3)若,函數(shù)在處取得最小值,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,若的面積為,求直線l與y軸交點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉時間,采用簡單隨機抽樣方法抽取了100名學(xué)生,對其平均每日參加體育鍛煉的時間(單位:分鐘)進(jìn)行調(diào)查,按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下:
分組 | ||||||
男生人數(shù) | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人數(shù) | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.
(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少?
(2)從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取5人參加某項體育活動.
①求男生和女生各抽取了多少人?
②若從這5人中隨機抽取2人作為組長候選人,求抽取的2人中男女各1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,EB垂直于菱形ABCD所在平面,且EB=BC=2,∠BAD=60°,點G、H分別為線段CD、DA的中點,M為BE上的動點.
(Ⅰ)求證:GH⊥DM;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐D﹣MGH的體積最大時,求三角形MGH的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作,堅決貫徹落實中央扶貧工作重大決策部署,在各個貧困縣全力推進(jìn)定點扶貧各項工作,取得了積極成效,某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號召,特地承包了一塊土地,已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示:
土地使用面積(單位:畝) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理時間(單位:月) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
愿意參與管理 | 不愿意參與管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
(1)求出相關(guān)系數(shù)的大小,并判斷管理時間與土地使用面積是否線性相關(guān)?
(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性?
(3)若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況,則從該貧困縣中任取3人,記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。
參考公式:
其中。臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),把函數(shù)的圖象向右平移個單位,再把圖象上所有的點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.的一個零點為D.在上單調(diào)遞減
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