Question

已知f（x）=（ax²+（a-1）²x-a²+3a-12）e^x，a≥0，g（x）=lnx-x-3．
（1）求g（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)h（x）=

f(x)

ex

+g（x），若直線y=kx+b與曲線y=h（x）的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中0＜x₁＜x₂，證明：k（x₁+x₂）＞2成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，分別解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出g（x）單調(diào)性與極值．
（2）f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a-11]e^x，對(duì)a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，記u（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，利用二次函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)h（x）=

f(x)

ex

+g（x）=lnx-15，k=

h(x2)-h(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，要證明k（x₁+x₂）＞2成立．即證明

lnx2-lnx1

x2-x1

（x₂+x₁）＞2成立，即證明

x2 x1 +1

x2 x1 -1

ln

x2

x1

＞2成立，令t=

x2

x1

＞1，上式即證明

t+1

t-1

lnt＞2成立，記v（t）=（t+1）lnt-2（t-1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：（1）g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（1）=-4．

（2）f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a-11]e^x，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=（x-11）e^x在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，記u（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，對(duì)稱軸為x=-

a2+1

2a

＜0，
要使f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)，只需要u（2）≥0或u（3）≤0，即

a＞0 2a2+5a-9≥0

或

a＞0 3a2+10a-11≤0

，解得a≥

97 -5

4

或0＜a≤

2

3

．
綜上可得：a的取值范圍是(0，

2

3

]∪[

97 -5

4

，+∞)．

（3）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)h（x）=

f(x)

ex

+g（x）=lnx-15，k=

h(x2)-h(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
要證明k（x₁+x₂）＞2成立．即證明

lnx2-lnx1

x2-x1

（x₂+x₁）＞2成立，即證明

x2 x1 +1

x2 x1 -1

ln

x2

x1

＞2成立，
令t=

x2

x1

＞1，上式即證明

t+1

t-1

lnt＞2成立，記v（t）=（t+1）lnt-2（t-1），
v′（t）=lnt+

1

t

-1，v′（1）=0，
v^″（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0在t＞1時(shí)恒成立．
∴v′（t）在t＞1時(shí)單調(diào)遞增，v′（t）＞v′（1）=0．
∴v（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴v（t）＞v（1）=0．即當(dāng)t＞1時(shí)，v（t）＞0恒成立．
因此k（x₁+x₂）＞2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．